1. O que é?
O modelo de Black-Scholes permite a um investidor analisar criteriosamente se o preço de um ativo financeiro, principalmente opções, num processo de compra e venda é justo. Tem-se por objetivo fazer uma construção matemática deste modelo, assim como demonstrar sua resolução.
2. Tipos de opção
Opção de compra: dá o direito, ao seu dono, de exercer a compra de um determinado ativo por um determinado preço e em um determinado dia. Tanto o preço quanto o dia de exercício estão contidos no contrato de emissão da opção. Opções de compra também são normalmente chamadas de “call”.
Opção de venda: dá o direito, ao seu dono, de exercer uma venda de um ativo determinado por um determinado preço e em um determinado dia. Tanto o preço quanto o dia de exercício estão contidos no contrato de emissão da opção. Opções de venda também são normalmente chamadas de “put”. O preço de exercício é normalmente denominado de “Strike”
O nosso modelo tratará basicamente de opções europeias. Nesta modalidade o detentor da opção pode exercer o seu direito apenas na data de exercício. Por outro lado existe a modalidade chamada “opções americanas”, onde o detentor da opção pode exercer o seu direito a qualquer momento, até a data em que a opção expira.
3. Como surgiu?
Fisher Black e Maryon Scholes desenvolveram em 1973 uma forma eficiente de se precificar opções. Isso aconteceu pois o método dos fluxos de caixa descontado não funciona com esse tipo de ativo, principalmente por que o custo de oportunidade das opções está atrelado ao preço das ações subjacentes, e este segue um curso aleatório. Dessa forma, Black e Scholes propuseram montar uma carteira equivalente a uma opção por meio de investimentos em ações e em empréstimos. A isso, dá-se o nome de carteira réplica e o custo líquido dessa operação deve ser o valor da opção.
Sendo assim, consideremos:
Uma ação com preço de $60;
Uma opção de compra para 8 meses com strike de $60;
A taxa de juros livre de risco à 1,5% a.a. (cerca de 1% em 8 meses).
Além disso, essa ação pode seguir dois caminhos: o preço cai 25% para $45; ou sobre 33% para $80. Se a ação cair, a opção perde o valor, pois não faz sentido exercê-la. Se subir, ela valerá 80-60= $20 no fim dos 8 meses. Dessa forma:
Porém, se obtivéssemos 4/7 dessa ação e pedíssemos $25,46 emprestado para um banco, teríamos, após 8 meses e com taxa de 1% no período:
Ambas as operações obtém o mesmo valor e assim:
Valor da opção de compra = valor de 4/7 de uma ação - $25,46 do empréstimo hoje
= 60 x (4/7) - 25,46 = $8,83
Por que 4/7? 4/7 é o número necessário para simularmos uma opção de compra. Esse número é chamado delta e é obtido pela seguinte fórmula:
delta da opção = (Diferença entre os prêmios/Diferença entre os strikes)
= 20-0 / 80-45 = 2035 = 47
Como não sabemos qual será o preço da ação no futuro, esse método não é tão eficiente assim. Porém, podemos calcular esse delta usando a probabilidade acumulada de uma distribuição normal. E assim, Fisher Black e Maryon Scholes fizeram.
4. Qual a fórmula? Como calcular?
O preço de uma opção de compra (Call), no modelo Black Scholes, é dado pela fórmula:
C = [N(d1) x P] - [N(d2) x VP(EX)] ,Onde:
C = preço da opção de compra
P = preço do ativo objeto (na maioria das vezes a ação)
N(x) = função de distribuição acumulada normal padrão
EX = preço de exercício (strike)
VP(EX) é o valor presente do preço de exercício, que é dado por:
t = tempo até a data de exercício da opção
i = taxa de juros livre de risco
Simplificando, a fórmula apenas diz que:
Valor da opção de compra = [preço da ação x delta] - [empréstimo bancário]
A explicação para N(d1) e N(d2) é um pouco menos direta. N(x) é a função probabilidade cumulativa padronizada. N(x) mede a probabilidade de uma variável com distribuição normal padrão ser menor que “x”, graficamente temos:
Dessa forma, N(d1) mede essa probabilidade quando “x” é igual a d1, enquanto que N(d2) é esta probabilidade quando “x” é igual a d2.
Além disso, d1 e d2 são calculados através das seguintes fórmulas:
Onde,
σ = é a volatilidade do preço da ação.
Por outro lado, o preço de uma opção de venda (Put), no modelo Black Scholes, é dado pela fórmula: P = [N(-d2) x VP(EX)] - [N(-d1) x P] Onde,
P = preço da opção de venda
Ressaltando que os cálculos de "d1 " e “d2 " são dados pelas mesmas fórmulas anteriormente apresentadas.
5. Exemplo prático
Utilizando a fórmula de Black-Scholes para avaliar a opção da “Amgen”.
Dados necessários:
Preço atual da ação = P = 60
Preço de exercício = EX = 60
Desvio padrão dos retornos atuais (composto continuamente) = s = 0,3523
Anos até o vencimento = t = 0,667
Taxa de juro ao ano = rf= 1,5% (equivalente a 0,99975% para oito meses).
Recorde que a fórmula de Black-Scholes para o valor da opção de compra é:
[N(d1) x P] - [N(d2) x VP(EX)], sendo:
N(d) = função de probabilidade normal cumulativa
Para se utilizar a fórmula de cálculo do valor da opção sobre a Amgen, há 3 passos a serem seguidos:
Passo 1: Calcule d1e d2. É apenas uma questão de introduzir números na fórmula. (Lembrando que “log” significa log natural):
Passo 2: Calcule N(d1) e N(d2).N(d1)é a probabilidade de uma variável com distribuição normal ser inferior a d1desvios padrão acima da média. Se d1, for elevado, N(d1)está próximo de 1,0 (ou seja, é quase certo que a variável será inferior a N(d1) desvios padrão acima da média). Se (d1) for zero, N(d1) é 0,5 (ou seja, há uma probabilidade de 50% de uma variável com distribuição normal ficar abaixo da média).
A forma mais simples para se determinar N(d1) é utilizar a função DIST.NORMP do Excel. Por exemplo, ao introduzir DIST.NORMP(0,1783) em uma planilha do Excel, perceberá que há uma probabilidade de 0,5708 de uma variável com distribuição normal ser inferior a 0,1783 desvio padrão acima da média. Opcionalmente, você poderá utilizar um conjunto de tabelas de probabilidade normais. Neste caso, você terá que intercalar entre as probabilidades acumuladas de d1= 0,17e d2= 0,18.
Mais uma vez, é possível utilizar a função do Excel para determinar N(d2). Ao introduzir DIST.NORMP(-0,1093) em uma planilha do Excel, deverá obter 0,4565 como resposta. Em outras palavras, há uma probabilidade de 0,4565 de uma variável com distribuição normal inferior a 0,1093 desvio padrão abaixo da média. Opcionalmente, ao utilizar um conjunto de tabelas de probabilidades normais, terá que procurar o valor para +0,1093 e subtraí-lo a 1,0:
N(d2) = N(-0,1093) = 1-N(+0,1093)
=1-0,5435=0,4565
Passo 3: Introduza esses valores na fórmula Black-Scholes. Agora é possível calcular o valor da opção de compra da Amgen:
[Delta x preço] - [empréstimo bancário]
= [N(d1) x P] - [N(d2) x VP(EX)]
[0,5708 x 60] - [0,4565 x 60/(1,015)0,667 ] = $ 7,13
6. Fontes utilizadas:
Link fonte 1:
https://www.insper.edu.br/wp-content/uploads/2013/01/Modelo_Black__Scholes_InFinance.pdf
Link fonte 2: https://drive.google.com/drive/folders/1dMnkNRVBe1Wu_K8OsPOclgZfPBcGrv8D - Princípios de Finanças Corporativas - 12.ed. (Por Richard A. Brealey, Stewart C. Myers, Franklin Allen) - Cap 12
7. Material extra:
Calculadora Black-Scholes: https://www.bastter.com/Mercado/BastterBlue/Ferramentas/calculadora-black-scholes.aspx